\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amstext,amssymb}
\begin{document}
\underline{Satz 8:} Sei $V$ ein $K$-VR mit
$\dim(V)=:n<\infty\Rightarrow V\cong K^n$.

Bew.: Sei $S=\{v_1, v_2,\ldots ,v_n\}\subseteq V$ eine Basis.

Definiere $f: K^n\rightarrow V,\left(%
\begin{array}{c}
  x_1 \\
  \vdots \\
  x_n \\
\end{array}%
\right)\mapsto\sum_{i=1}^n x_i v_i$. Nachpr\"ufen: $f$ ist linear.

Kern$(f)=$? Sei $\left(%
\begin{array}{c}
  x_1 \\
  \vdots \\
  x_n \\
\end{array}%
\right)\in$Kern$(f)\Rightarrow f\left(%
\begin{array}{c}
  x_1 \\
  \vdots \\
  x_n \\
\end{array}%
\right)=0\Rightarrow\sum_{i=1}^n x_i v_i=0\Rightarrow x_i=0\forall
i$. Also Kern$(f)=\{\left(%
\begin{array}{c}
  0 \\
  \vdots \\
  0 \\
\end{array}%
\right)\}\begin{array}{c}
  \Rightarrow \\
  $Prop. 3$ \\
\end{array} f$ injektiv

$f$ surjektiv: Sei $v\in V$ beliebig. Wegen $V=<S>$ gibt es
$x_1,\ldots,x_n\in K$ mit $v=f\left(%
\begin{array}{c}
  x_1 \\
  \vdots \\
  x_n \\
\end{array}%
\right)$. Also $f$ surjektiv.

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\underline{Darstellungsmatrix:} Seien $v,w$ $K$-VRe,
$n=\dim(V)<\infty, m=\dim(W)<\infty$. W\"ahle Basen
$S=\{v_1,\ldots ,v_n\}, T=\{w_1,\ldots,w_m\}$ von $V$ bzw. $W$.

Sei $f:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung.

Sei $j\in\{1,\ldots,n\}\Rightarrow f(v_j)\in W\Rightarrow\exists
a_{1,j},a_{2,j},\ldots,a_{m,j}\in K$ mit $f(v_j)=\sum_{i=1}^m
a_{ij} w_i, a_{ij}$ eindeutig. $A:=(a_{ij})\in K^{m\times n}$ ist
die \underline{Darstellungsmatrix} von $f$ (bzgl. $S$ und $T$).
Notation: $A=:D_{S,T}(f)$.

$f$ ist durch $A$ eindeutig bestimmt! Sei n\"amlich $v\in
V\Rightarrow \exists x_1,\ldots,x_n\in K$, $v=\sum_{j=1}^n x_j
v_j$. Die $x_i$ sind die \underline{Koordinaten} von $v$ (bzgl.
$S$). $f(v)=f(\sum_{j=1}^n x_j v_j)=\sum_{j=1}^n x_j f(x_j
v_j)=\sum_{j=1}^n x_j\ast \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i=\sum_{i=1}^m
(\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j)w_i$.

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\underline{Regeln:} $S$ Bsis von $V_i T$ Basis von $W_i f$:
$V\rightarrow W$ linear, $A=D_{S,T}(f)$.

(a) In den \underline{Spalten} von $A$ stehen die Koordinaten
(bzgl. $T$) der Bilder der Basisvektoren von $V$.

(b) Ist $v\in V$ mit Koordinaten $x_1,\ldots,x_n\in K$(bzgl. $S$),
so sind $\left(%
\begin{array}{c}
  y_1 \\
  \vdots \\
  y_n \\
\end{array}%
\right):=A\left(%
\begin{array}{c}
  x_1 \\
  \vdots \\
  x_n \\
\end{array}%
\right)$ die Koordinaten $y_1\ldots y_m$ von $F(v)$ bzgl. $T$
gegeben.

(c) Falls $V=W$, so wird "immer" $S=T$ gew\"ahlt.

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Bsp.: (1) $V=W=\mathbb{R}^2$, $f$= Drehung um 90 Grad nach links.
$S=T=\{\left(%
\begin{array}{c}
  1 \\
  0 \\
\end{array}%
\right),\left(%
\begin{array}{c}
  0 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)\}$ Standard-Basis

            $e_1$      $ $     $e_2$

$f(e_1)=e_2=0\ast e_1+1\ast e_2$

$f(e_2)=-e_1=(-1)\ast e_1+0\ast e_2$. $A=D_{S,T}(f)=\left(%
\begin{array}{cc}
  0 & -1 \\
  1 & 0 \\
\end{array}%
\right)$

(2) $v=w=\{f\in K[X]|\deg(f)<3\}, S=T=\{1,x,x^2\}$

$\varphi:v\rightarrow v, f\mapsto f'$ (Ableitung)
$\varphi(1)=0,\varphi(x)=1, \varphi(x^2)=2x\Rightarrow
A=D_{S,S}(\varphi)=\left(%
\begin{array}{ccc}
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 2 \\
  0 & 0 & 0 \\
\end{array}%
\right)$.

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Kapitel IV \underline{Analysis}

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Stichworte: Folgen, Reihen, Grenzwerte, Stetigkeit,
differenzieren, Integral

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\S 20 \underline{Reelle Zahlen}

Wiederholung Kap. II

Konstruktion von $\mathbb{N}$: $0=\emptyset$,
$1=\{0\}=\{\emptyset\},
2=\{0,1\}=\{\emptyset,\{emptyset\}\},\ldots \rightarrow$
Peano-Axiome, Definition von $+,\ast,$ Rechenregeln, Def. von
"$\leqq$".

\begin{itemize}
    \item Konstruktion $\mathbb{N}\rightsquigarrow \mathbb{Z}$ (ganze
Zahlen) $\rightarrow \mathbb{Z}$ ist kommutativer Ring mit
"$\leqq$".
    \item Konstruktion $\mathbb{Z}\rightsquigarrow\mathbb{Q}$
    (rationale Zahlen) $\rightarrow \mathbb{Q}$ ist ein K\"orper
    mit "$\leqq$".
    \item Konstruktion $\mathbb{Q}\rightsquigarrow \mathbb{R}$
    (reelle Zahlen): Dedekindsche Schnitte
    \item Konstruktion $\mathbb{R}\rightsquigarrow \mathbb{C}$
    (komplexe Zahlen) $\rightarrow \mathbb{C}$ ist algebraisch
    abgeschlossener K\"orper (ohne "$\leqq$")
\end{itemize}

Eigenschaften von $\mathbb{R}$:

Satz 1: (a) $\mathbb{R}$ ist ein K\"orper ($(\mathbb{R},+)$ und
$(\mathbb{R}\backslash\{0\},\ast)$) sind abelsche Gruppen.
(Distributivgesetz)

(b) $\mathbb{R}$ hat eine Totalordnung "$\leqq$" mit $\forall
a,b,c\in \mathbb{R}$:

(i) $a\leqq b\Rightarrow a+c\leqq b+c$

(ii) $a\leqq b$ und $c\geqq 0\Rightarrow ac\leqq bc$

$\rightarrow \mathbb{R}$ ist K\"orper mit (c) Jede nicht-leere,
nach unten beschr\"ankte Menge $A\subseteq \mathbb{R}$ besitzt ein
Infimum $\alpha\in\mathbb{R}$.

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Erinnerung: Eine Menge $A\subseteq\mathbb{R}$ hei\ss t nach unten
beschr\"ankt, falls ein $y\in\mathbb{R}$ existiert mit $\forall
x\in A$: $y\leqq x$. $y$ hei\ss t dann \underline{untere Schranke}
von $A$. Es gibt dann mehrere untere Schranken! Z.B. ist mit $y$
auch $y-1$ untere Schranke.
\end{document}