\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amstext,amssymb}
\begin{document}
Falls $y$ eine untere Schranke von $A$ ist: Falls $y\in A$, so
hei\ss t $y$ ein Minimum von $A$, bez. $y=\min(A)$. So etwas
existiert nicht immer! Z.B. $A=\mathbb{R}_{>0}$.

$\alpha\in\mathbb{R}$ hei\ss t Infimum (=gr\"o\ss te untere
Schranke), falls gelten:

(1) $\alpha$ ist untere Schranke von $A$

(2) Falls $\beta\in\mathbb{R}$ eine untere Schranke ist, so folgt
$\beta\leqq\alpha$.

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Ein Infimum ist eindeutig bestimmt: Sei $\beta$ ein weiteres
Infimum $\Rightarrow\beta$ untere Schranke
$\Rightarrow\beta\leqq\alpha$. Umgekehrte Rollen von
$\alpha,\beta:\alpha\leqq\beta$. Also $\alpha=\beta$.

Schreibweise: $\alpha=\inf(A)$.

Minimum existiert nicht immer, Infimum existiert immer (falls
$A\neq\emptyset$ nach unten beschr\"ankt). Falls $\min(A)$
existiert, dann $\min(A)=\inf(A)$.

"Komplement\"are" Begriffe mit umgekehrten Ungleichungen: nach
oben beschr\"ankt, obere Schranken, Maximum, Supremum (=kleinste
obere Schranke).

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Satz 2 ("Eindeutigkeit" von $\mathbb{R}$): $\mathbb{R}$ ist bis
auf Isomorphie durch die Eigenschaften aus Satz 1 eindeutig
bestimmt.

Genauer: Sei $X$ eine Menge mit Verkn\"upfungen $+$ und $\ast$ und
mit einer Relation $\leqq$, so dass Satz 1 f\"ur $X$ gilt. Dann
gibt es genau eine Bijektion $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow X$ mit

(i)
$\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}:\varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)$
und $\varphi(\alpha\ast\beta)=\varphi(\alpha)\ast\varphi(\beta)$

(ii)$\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}:\alpha\leqq\beta\Leftrightarrow\varphi(\alpha)\leqq\varphi(\beta)$

Ohne Beweis

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F\"ur uns bedeutet dies: Wir m\"ussen uns nur Satz 1 merken. Alle
Aussagen \"uber $\mathbb{R}$ folgen aus Satz 1 und nicht aus der
Konstruktion von $\mathbb{R}$.

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Satz 3 (Folgerungen aus Satz 1(a, b)): Seien
$a,b,c\in\mathbb{R}\Rightarrow$

(a) Es gilt genau eine der Aussagen (i) $a<b$ (ii) $a=b$ (iii)
$a>b$.

(b) $a\leqq b\Leftrightarrow b-a\geqq 0$

(c) $a\leqq b\Leftrightarrow -a\geqq -b$

(d) $a\leqq b$ und $c\leqq 0\Rightarrow ca\geqq cb$

(e) $a^2\geqq 0$, insb. $1>0$

(f) $0<a\leqq b\Rightarrow 0<\frac{1}{b}\leqq\frac{1}{a}$.

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Bew.: (a) folgt direkt aus "$\leqq$" Totalordnung.

(b) "$\Rightarrow$": Sei $a\leqq b\Rightarrow 0\leqq b-a$.
"$\Leftarrow$": Sei $b-a\geqq 0\Rightarrow b\geqq a$.

(c) "$\Rightarrow$": Sei $a\leqq b\Rightarrow -b\leqq -a$.
"$\Leftarrow$": umgekehrt

(d) $c\leqq 0\Rightarrow -c\geqq 0\Rightarrow -ca\leqq
-cb\Rightarrow cb\leqq ca$

(e) 1. Fall: $a\geqq 0\Rightarrow a^2\geqq 0\ast a=0$

2. Fall: $a<0\Rightarrow a^2\geqq 0\ast a=0$

Insb. $1=1^2\geqq 0\Rightarrow 1>0$.

(f) Annahme: $\frac{1}{b}\leqq 0\Rightarrow
1=b\ast\frac{1}{b}\leqq 0$, Widerspruch zu (e). Also
$\frac{1}{b}>0$. Ebenso $\frac{1}{a}>0\Rightarrow \frac{1}{ab}>0$.
$a\leqq b\Rightarrow \frac{1}{b}\leqq \frac{1}{a}$.

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Korollar 4 (zu Satz 1(c)): Jede nicht-leere nach oben
beschr\"ankte Menge $A\subseteq \mathbb{R}$ besitzt ein Supremeum
$\alpha=\sup(A)\in\mathbb{R}$.

Bew.: Wegen Satz 3(c) ist $-A:=\{-a|a\in A\}$ nach unten
beschr\"ankt $\Rightarrow\exists\beta=\inf(-A)\Rightarrow
-\beta=\sup(A)$

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Satz 5 (Archimedisches Prinzip): $\forall a\in\mathbb{R}\exists
n\in\mathbb{N}:n>a$

Bew.: Annahme: $\exists a\in\mathbb{R}:\forall
n\in\mathbb{N}:a\geqq n$, d.h. $\mathbb{N}$ ist nach oben
beschr\"ankt $\Rightarrow \exists
s=\sup(\mathbb{N})\in\mathbb{R}$. $s$ ist kleinste obere Schranke
$\Rightarrow s-1$ ist keine obere Schranke von
$\mathbb{N}\Rightarrow\exists n\in\mathbb{N}: n>s-1\Rightarrow
s<n+1\in\mathbb{N}$, Widerspruch zu "$s$ ist obere Schranke von
$\mathbb{N}$"

Korollar 6: Sei $\varepsilon\in\mathbb{R}_{>0}\Rightarrow\exists
n\in\mathbb{N}:\frac{1}{n}<\varepsilon$.

Bew.: $\exists n\in\mathbb{N}:n>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow
\frac{1}{n}<\varepsilon$

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Satz 7 ("Wohlordnung" von $\mathbb{N}$): Jede nicht-leere
Teilmenge $A\subseteq\mathbb{N}$ enth\"alt ein Minimum.

Bew.: $A$ ist nach unten beschr\"ankt (z.B. durch
0)$\Rightarrow\exists a=\inf(A)\in\mathbb{R}$. Annahme: $a\notin
A$. $a+1$ ist keine untere Schranke von $A\Rightarrow\exists n\in
A:n<a+1\Rightarrow a<n<a+1$. Dasselbe mit $n$ anstelle von $a+1$
liefert:$\exists n\in A:a<n'<n<a+1\Rightarrow n'<n<a+1<n'+1$

Widerspruch zu \S 3 Satz 9 ("es gibt keine nat\"urliche Zahl
zwischen $n'$ und $n'+1$"). Also $a\in A\Rightarrow a=\min(A)$.

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Korollar 8: Sei $a\in \mathbb{R}\Rightarrow\exists
k\in\mathbb{Z}$. $a\leqq k<a+1$.

Bew.: 1. Fall: $a\geqq 0$. $A:=\{n\in\mathbb{N}|n\geqq
a\}\neq\emptyset$ wegen Satz 5 $\Rightarrow\exists
k=\min(A)\in\mathbb{N}\Rightarrow k\geqq a$. Annahme: $k\geqq
a+1\Rightarrow k-1\geqq a\Rightarrow k-1\in A$ Widerspruch zu
$k=\min(A)$. Also $k<a+1$.

2. Fall: $a<0$. Satz 5: $\exists n\in\mathbb{N}:a<n\Rightarrow
n+a>0\Rightarrow\exists k\in\mathbb{N}: n+a\leqq
k<n+a+1\Rightarrow a\leqq k-n<a+1$

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Korollar 9: Seien $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a<b\Rightarrow\exists
r\in\mathbb{Q}:a<r<b$.

Bew.: Kor. 6:$\exists n\in \mathbb{N}:\frac{1}{n}<b-a\Rightarrow
1<nb-na\Rightarrow na+1<nb$. Korollar 8: $\exists
k\in\mathbb{Z}:-na-1\leqq k<-na\Rightarrow na<-k\leqq
na+1<nb\Rightarrow a<\frac{-k}{n}<b$
\end{document}