\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amstext,amssymb}
\begin{document}
\underline{\S 21 Folgen und Grenzwerte}

Def. 1: Eine Folge (reeller Zahlen) ist eine Abbildung
$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ (manchmal
$\mathbb{N}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}$). Schreibweise f\"ur
Folgen: $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R},n\mapsto a_n$. Man
Schreibt dies normalerweise $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ oder
$(a_0,a_1,a_2,\ldots)$

Bsp.: (1) $a_n=(-1)^n=\left\{%
\begin{array}{l}
  1,n$ ungerade$ \\
  1,n$ gerade$ \\
\end{array}%
\right.$

$a_n=(1,-1,1,-1,\ldots)$

(2) $a_n=a \forall n$ mit $a\in\mathbb{R}$ fest gew\"ahlt
("konstante Folge")

(3) $a_n=\frac{1}{n+1}$

(4) $a_n=\frac{1}{2^n}$

(5) $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ definiert durch
$a_0=\frac{3}{2},a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n}\forall
n\in\mathbb{N}$ (rekursive Definition, siehe Rekursionssatz)

$(a_n)=(\frac{3}{2},\frac{17}{12},\frac{577}{408},\ldots)$

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Betrag: F\"ur $a\in\mathbb{R}$ definiere $|a|=\max\{a,-a\}=\left\{%
\begin{array}{l}
  a,a\geqq 0 \\
  -a,a<0 \\
\end{array}%
\right.$

Eigenschaften des Betrags: $\forall a,b\in\mathbb{R}$:

(i) $|a|>0$

(ii) $|a|=0\Leftrightarrow a=0$

(iii) $|a+b|\leqq |a|+|b|$ ("Dreiecksungleichung")

(iv) $|a\ast b|=|a|\ast|b|$.

Abstand von $a$ und $b\in\mathbb{R}$: $|a-b|$. $a$ liegt nahe bei
$b$, falls $|a-b|$ klein ist.

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Def. 2: Sei $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge und
$a\in\mathbb{R}$. $a$ hei\ss t \underline{Grenzwert} von $(a_n)$,
falls gilt: $\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_{>0}\exists
N\in\mathbb{N}: \forall n\in\mathbb{N}$ mit $n\geqq
N:|a_n-a|<\varepsilon$.

$(a_n)$ hei\ss t \underline{konvergent}, falls ein Grenzwert
$a\in\mathbb{R}$ existiert. Andernfalls hei\ss t $(a_n)$
\underline{divergent}.

$(a_n)$ hei\ss t \underline{Nullfolge}, falls 0 Grenzwert ist.
Schreibweise: $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a$ (bedeutet: $(a_n)$
ist konvergent mit Grenzwert $a$. Alternativ: $a_n\rightarrow a$
("$a_n$ geht gegen $a$")

Anmerkung: (a) $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a$ bedeutet:
$\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_{>0}$ gibt es h\"ochstens endlich
viele $n\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|\geqq\varepsilon$.

(b) $(a_n)$ divergent $\Leftrightarrow \forall
a\in\mathbb{R}\exists\varepsilon>0$: $|a_n-a|\geqq\varepsilon$
gilt f\"ur unendlich viele $n\in\mathbb{N}$.

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Bsp.: (1) $a_n=(-1)^n\Rightarrow a_n$ divergent. Begr\"undung: Sei
$a\in\mathbb{R}$ beliebig. W\"ahle $\varepsilon=1$ (willk\"urlich,
auch $\varepsilon=\frac{1}{2},\ldots$ w\"urde funktionieren).

1. Fall: $a\geqq 0\Rightarrow\forall n\in\mathbb{N}$
ungerade:$|a_n-a|=|-1-a|=a+1\geqq 1=\varepsilon$

2. Fall: $a<0$: Sei $n\in\mathbb{N}$ gerade $\Rightarrow
|a_n-a|=|1-a|=1-a>1=\varepsilon$

Fazit: In beiden F\"allen gibt es unendlich viele $n\in\mathbb{N}$
mit $|a_n-a|\geqq\varepsilon$.

(2) $a_n=\frac{1}{n+1}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0$.
Grund: Sei $\varepsilon>0$. Archimed. Prinzip: $\exists
N\in\mathbb{N}:\frac{1}{N}<\varepsilon$. Sei $n\geqq
N,n\in\mathbb{N}\Rightarrow n+1\geqq N\Rightarrow
0<\frac{1}{n+1}\leqq
\frac{1}{N}<\varepsilon\Rightarrow|\frac{1}{n+1}-0|<\varepsilon$

(3) $a_n=a$ konstante Folge $\Rightarrow\lim_{n\Rightarrow\infty}
a_n=a$. Grund: Sei $\varepsilon>0$. W\"ahle $N=0\Rightarrow\forall
n\geqq N.|a_n-a|=|a-a|=0<\varepsilon$

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Satz 3: Sei $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergent $\Rightarrow$ Der
Grenzwert von $(a_n)$ ist eindeutig bestimmt. Dies rechtfertigt
die Schreibweise $a=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n$.

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Bew.: Seien $a,b\in\mathbb{R}$ Grenzwerte von $(a_n)$. Annahme:
$a\neq b\Rightarrow \varepsilon:=\frac{|a-b|}{2}>0. \exists
N_1,N_2\in\mathbb{N}:\forall n\geqq
N_1:|a_n-a|<\varepsilon,\forall n\geqq N_2, |a_n-b|<\varepsilon$.
Setze $N:=\max\{N_1,N_2\}\Rightarrow\forall n\geqq
N;|a_n-a|<\varepsilon$ und $|a_n-b|<\varepsilon\Rightarrow\forall
n\geqq N:|a-b|=a-a_n+a_n-b|\leqq
|a-a_n|+|a_n-b|<\varepsilon+\varepsilon=|a-b|\Rightarrow|a-b|<|a-b|$
Also $a=b$.
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