\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amstext,amssymb}
\begin{document}

\underline{Prop. 3}: $f:V\rightarrow W$ linear

(a) Kern $(f)\subseteq V$ Unterraum

(b) $f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ Kern$(f)=\{0\}$.

Bew.: (a): $f(0)=0 \Rightarrow 0\in$
Kern$(f)\Rightarrow$Kern$(f)\neq\emptyset$

Seien $v,w\in$Kern$(f)\Rightarrow
f(v+w)=f(v)+f(w)=0+0=0\Rightarrow v+w\in$Kern$(f)$

Seien $v\in$Kern$(f),a\in K\Rightarrow f(av)=a\ast f(v)=a\ast
0=0\Rightarrow a\ast v\in$Kern$(f)$.

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(b) "$\Rightarrow$": $f(0)=0\Rightarrow \{0\}\subseteq$Kern$(f)$.
Sei $v\in$Kern$(f)\Rightarrow f(v)=0=f(0)\Rightarrow f$ injektiv

$v=0$, also Kern$(f)\subseteq\{0\}$ Insgesamt Kern$(f)=\{0\}$.

"$\Leftarrow$": Sei Kern$(f)=\{0\}$. Seien $v,w\in V$ mit
$f(v)=f(w)\Rightarrow f(v-w)=f(v)-f(w)=0\Rightarrow
v-w\in$Kern$(f)\Rightarrow v-w=0\Rightarrow v=w$.      qed

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\underline{Def. 4}: Sei $V$ ein $K$-VR, $S\subseteq V$ Teilmenge
(kann unendlich sein!).

(a) Ein $v\in V$ hei\ss t \underline{Linearkombination} von S,
falls es zu jedem $u\in S$ ein $a_u\in K$ gibt mit:

    (i) $a_u\neq 0$ nur f\"ur endlich viele $u\in S$,

    (ii) $\sum_{U\in S} a_u\ast U=V$ (endliche Summe)

(b) $<S>\subseteq V$ ist die Menge aller Linearkombinationen von
$S$. $<S>$ ist der von $S$ \underline{erzeugte Unterraum}.

(c) Falls $<S>=V$, so hei\ss t $S$ ein
\underline{Erzeugendensystem} von $V$.

(d) $S$ hei\ss t \underline{linear unabh\"angig} (l.u.), falls
gilt: Sind $a_u\in K$ Skalare ($u\in S$) mit

    (i) $a_u\neq 0$ nur f\"ur endlich viele $u\in S$,

    (ii) $\sum_{U\in S} a_u\ast u=0$,

dann folgt $a_u=0 \forall u\in S$.

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Bsp.: (1) $V=K[X], S=\{X^i|i\in
\mathbb{N}\}=\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}$

Linearkombinationen: $\sum_{i\in\mathbb{N}} a_i x^i$ mit $a_i\neq
0$ nur f\"ur endlich viele $i\in\mathbb{N}\Rightarrow$ die
Linearkombinationen sind genau alle Polynome$\Rightarrow <S>=V$.

$S$ l.u.? Seien $a_i\in K$ mit $a_i\neq 0$ nur f\"ur endlich viele
$i$, so dass $\sum_{i\in\mathbb{N}} a_i x^i=0\Rightarrow a_i=0
\forall i$ Also $S$ l.u.

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(2) $M$ Menge, $V=$Abb.($M,K)=\{f:M\rightarrow K|f$ Abbildung$\}$.

F\"ur $y\in M$ definiere $\delta_y\in V$ durch
$\delta_y(x)=\left\{%
\begin{array}{l}
  1$, falls $x=y \\
  0$, sonst$ \\
\end{array}%
\right.$

$S=\{\delta_y|y\in M\}\subseteq V$. $S$ l.u.? Seien $a_y\in K$ mit
$a_y\neq 0$ nur f\"ur endlich viele $y\in M$, so dass $\sum_{y\in
M} a_y\ast \delta_y=0$ (Nullfunktion) $\Rightarrow \forall x\in M:
0=(\sum_{y\in M} a_y\ast \delta_y)(x)=\sum_{y\in M} a_y\ast
\delta_y(x)=a_x\Rightarrow a_x=0\forall x\in M$, also $S$ l.u.

1. Fall: $M$ ist endlich. Sei $f\in V$ beliebig. Setze
$a_y:=f(y)\forall y\in M,g:=\sum_{y\in M} a_y\ast \delta_y\in <S>.
\forall x\in M: g(x)=\sum_{y\in M} a_y \delta_y
(x)=a_x=f(x)\Rightarrow f=g\in <S>$. Also $<S>=V$.

2. Fall: $M$ ist unendlich. Betrachte $f\in V$ mit $f(x)=1 \forall
x\in M \Rightarrow f\notin <S>$, denn f\"ur jedes $g\in <S>$ gilt
$g=\sum_{y\in M} a_y\ast \delta_y$ mit $a_y\in K, a_y\neq 0$ nur
f\"ur endlich viele $y\in M\Rightarrow \forall x\in M:
g(x)=a_x\neq 0$ nur f\"ur endlich viele $x\in M\Rightarrow f\neq
g$

Also $<S>\neq V$.

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Def. 5: Sei $V$ ein $K$-VR, $S\subseteq V$ Teilmenge. $S$ hei\ss t
Basis von $V$, falls gelten:

    (i) $S$ ist l.u.,

    (ii) $<S>=V$.

Bsp.: (1) $\{x^i|i\in\mathbb{N}\}$ ist eine Basis von $K[X]$.

(2) F\"ur $|M|=\infty$ ist keine Basis von Abb.($M,K$) bekannt!

(3) Es ist keine Basis von $\mathbb{R}$ als $\mathbb{Q}$-VR
bekannt.

(4) $\{1,i\}$ ist eine Basis von $\mathbb{C}$ als $\mathbb{R}$-VR

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\underline{Satz/Def. 6}: Sei $V$ ein $K$-VR.

(a) $V$ besitzt eine Basis.

(b) Falls $V$ eine endliche Basis besitzt, so sind alle Basen
endlich und haben gleich viele Elemente. Die Elementanzahl einer
Basis hei\ss t dann die \underline{Dimension} von $V$, bez.
$\dim(v)$. Andernfalls: $\dim(v)=\infty$ (unendlich-dimensional)

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Anmerkungen zum Beweis: (a) zeigt man mit dem Zornschen Lemma (ist
\"aquivalent zum Auswahlaxiom)

(b) folgt aus dem Steinitzschen Austauschsatz.

Bsp.: (1) $\dim(K[X])=\infty$.

(2) $M$ Menge; $V$=Abb($M,K)\Rightarrow\dim(V)=\left\{%
\begin{array}{l}
  |M|$, $M$ endl.$ \\
  \infty,|M|=\infty \\
\end{array}%
\right.$

"Begr\"undung": $V$ besitzt eine unendliche l.u. Teilmenge (siehe
Bsp. (2)$\Rightarrow\dim(v)=\infty$.

(3) $d\in\mathbb{N}, V=\{f\in K[X]|\deg(f)<d\}$. $S=\{x^i|0\leqq
i<d\}$ Basis $\Rightarrow\dim(v)=d$.

(4) $V=\{0\}\Rightarrow S=\emptyset$ Basis $\dim(\{0\})=0

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\underline{Def. 7}: Seien $V,W$ $K$-VRe.

(a) Eine lineare Abb. $f:V\rightarrow W$ hei\ss t
\underline{Isomorphismus}, falls $f$ bijektiv ist.

(b) $V$ und $W$ hei\ss en \underline{isomorph}, bez. $V\cong W$,
falls ein Isomorph $f:V\rightarrow W$ existiert.
\end{document}
